混沌理论的特性有哪些

来源:快飞出国留学 浏览:414 发布日期:2023-04-12 10:30:43

混沌理论是一种研究动态系统的数学理论,研究的是非线性系统中的随机性行为。混沌理论认为,尽管这些系统的行为不是完全随机的,但也不是完全可预测的,因为微小的初始条件变化可能导致系统行为的巨大变化。混沌理论的研究对象包括天气、地震、流体力学、经济学等领域的动态系统,其应用范围非常广泛。混沌理论的研究成果不仅推动了理论物理学和应用数学的发展,而且对于生物学、社会科学等其他学科也有着深刻的影响。

一、定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法,用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系,而必须用整体,连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“一切事物的原始状态,都是一堆看似毫不关联的碎片,但是这种混沌状态结束后,这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。”

混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论,主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中,西方自然科学家经过长期的探讨,逐一发现众多自然界中的规律,如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述,并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半个世纪以来,科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式,但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化,产生所谓的“蝴蝶效应”.。60年代,美国数学家Stephen Smale发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后,随后的发展并无一定的轨迹可循,呈现失序的混沌状态。

二、混沌特性

(1)随机性:体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为,常称之为内随机性.例如,在一维非线性映射中,即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项,即使控制参数、初始值都是确定的,而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部,与外随机性有完全不同的来源与机制,显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点,也是对初值敏感性的原因所在。

(2)敏感性:系统的混沌运动,无论是离散的或连续的,低维的或高维的,保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的,均具有一个基本特征,即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性,一方面反映出在非线性动力学系统内,随机性系统运动趋势的强烈影响;另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

(3)分维性:混沌具有分维性质,是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26;描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结,构成具有无穷层次的自相似结构。

(4)普适性:当系统趋于混沌时,所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4.669201609l0299097…

(5)标度律:混沌现象是一种无周期性的有序态,具有无穷层次的自相似结构,存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高,则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样,所以具有标度律性质。例如,在倍周期分叉过程中,混沌吸引子的无穷嵌套相似结构,从层次关系上看,具有结构的自相似,具备标度变换下的结构不变性,从而表现出有序性。

三、原则

混沌理论还有一个是发展特征,其有三个原则:

1、能量永远会遵循阻力最小的途径。

2、始终存在着通常不可见的根本结构,这个结构决定阻力最小的途径。

3、这种始终存在而通常不可见的根本结构,不仅可以被发现,而且可以被改变。

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